Jiří Čunek se narodil 22. února 1959 ve Zlíně. Po ukončení odborného učiliště vystudoval při práci strojní průmyslovku ve Zlíně. Byl automechanikem ve zlínských Pozemních stavbách a v letech 1982 až 1998 pracoval ve Zbrojovce Vsetín, nejprve jako bezpečnostní technik a poté byl vedoucím bezpečnosti práce. Má střelmistrovské zkoušky.
Členem lidové strany je Čunek od roku 1990, do komunální politiky vstoupil v roce 1994, kdy byl zvolen do vsetínského zastupitelstva. O čtyři roky se stal starostou a funkci obhájil i letos. Od roku 2000 zasedá i v zastupitelstvu Zlínského kraje. V letošních senátních volbách zvítězil ve druhém kole, když svého soupeře, občanského demokrata Jiřího Kubešu porazil více než čtyřicetiprocentním rozdílem.
Jiří Čunek je ženatý, manželka Pavla vystudovala medicínu, mají čtyři dcery.